Euclide, Elementi, VII, 2

L'algoritmo per il calcolo del massimo comune divisore

 

 

 

Non è tanto il caso di parlare di stile a proposito della scrittura di Euclide, quanto della rigorosa (o rigida, per i suoi detrattori) formalizzazione dei procedimenti logico-deduttivi della dimostrazione matematica, che si serve di strutture fisse, ripetitive, finalizzate esclusivamente alla chiarezza, all'esaustività, alla completezza degli enunciati e del procedimento  entro cui sono concatenati, senza nulla concedere ad altre istanze espressive, retoriche o formali che non siano quelle indicate. Siamo insomma di fronte ad un testo che fa del tecnicismo (articolato sui piani lessicale, morfologico e sintattico) la priorità unica, in uno sforzo evidente di conferire oggettività al singolo ragionamento come alla disciplina nel suo insieme. L'obiettivo di questa scrittura è di rimuovere (in senso assoluto, se fosse possibile) la soggettività dell'autore, o comunque di relegarla nello spazio minore e più marginale possibile rispetto alla natura impersonale ed oggettiva del ragionamento matematico. Questa formalizzazione si è imposta nella storia della disciplina come il paradigma unico del discorso dimostrativo, tanto da essere ancora oggi sostanzialmente vigente nella sua trasposizione alle varie lingue moderne.

 

 

Δύο ἀριθμῶν δοθέντων[1] μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους[2] τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον[3] εὑρεῖν[4].

Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ ΑΒ, ΓΔ. δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον εὑρεῖν[5].

Εἰ μὲν οὖν ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ μετρεῖ, μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν, ὁ ΓΔ ἄρα τῶν ΓΔ, ΑΒ κοινὸν μέτρον ἐστίν[6]. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον[7]: οὐδεὶς γὰρ μείζων τοῦ ΓΔ τὸν ΓΔ μετρήσει[8]. Εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ[9], τῶν ΑΒ, ΓΔ[10] ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος[11] ἀπὸ τοῦ μείζονος λειφθήσεταί[12] τις ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ[13]. μονὰς[14] μὲν γὰρ οὐ λειφθήσεται: εἰ δὲ μή[15], ἔσονται οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους: ὅπερ οὐχ ὑπόκειται[16]. λειφθήσεταί τις ἄρα ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ[17]. καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΕ μετρῶν[18] λειπέτω[19] ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΕΑ, ὁ δὲ ΕΑ τὸν ΔΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΓ, ὁ δὲ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρείτω[20]. ἐπεὶ οὖν[21] ὁ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρεῖ, ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ, καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει[22]: μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυτόν: καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΓΔ μετρήσει. ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ: καὶ ὁ ΓΖ ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ: μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΕΑ: καὶ ὅλον ἄρα τὸν ΒΑ μετρήσει: μετρεῖ δὲ καὶ τὸν ΓΔ: ὁ ΓΖ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ μετρεῖ. ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν[23]. λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον[24]. εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ ΓΖ τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστον κοινὸν μέτρον[25], μετρήσει τις τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὢν[26] τοῦ ΓΖ. μετρείτω, καὶ ἔστω[27] ὁ Η. καὶ ἐπεὶ[28] ὁ Η τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΕ μετρεῖ, καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΒΕ μετρεῖ: μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ: καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΕ μετρήσει. ὁ δὲ ΑΕ τὸν ΔΖ μετρεῖ: καὶ ὁ Η ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει: μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ: καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΖ μετρήσει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα[29]: ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον: οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει μείζων ὢν τοῦ ΓΖ: ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ μέγιστόν ἐστι κοινὸν μέτρον[30]: [ὅπερ ἔδει δεῖξαι[31]].

 

Πόρισμα[32]

Ἐκ δὴ τούτου[33] φανερόν[34], ὅτι ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει[35]: ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Dati due numeri che non siano primi reciprocamente, trovare il loro massimo comune divisore.

Siano AB, CD i due numeri dati, non primi reciprocamente. Bisogna trovare il massimo comun divisore di AB, CD.

Se dunque CD è divisore di AB, ed è divisore anche di se stesso, CD è divisore comune di CD, AB. Ed è evidente che sia anche il massimo: nessun numero maggiore di CD dividerà CD.

Se invece CD non è divisore di AB, sottraendo ripetutamente il minore fra AB e CD al maggiore, rimarrà un numero che dividerà quello che lo precede. Non rimarrà infatti un'unità; altrimenti AB, CD saranno primi tra loro; il che non è stato assunto per ipotesi. Dunque rimarrà un numero che dividerà  quello che lo precede. Supponiamo che CD, divisore di BE, lasci come resto EA, minore di se stesso; che EA, divisore di DF, lasci FC minore di se stesso; e che CF sia divisore di AE. Ora, siccome CF è divisore di AE, e AE è divisore di DF, anche CF sarà divisore di DF. Ma è anche divisore di se stesso; perciò sarà divisore anche dell'intero CD. Ma CD è divisore di BE; perciò CF è anche divisore di BE. Ma è divisore anche di EA; dunque sarà divisore anche dell'intero BA. Ma è anche divisore di CD; dunque CF è divisore di AB, CD. Dunque CF è divisore comune di AB, CD. E affermo che è anche il massimo. Se infatti CF non è il massimo comun divisore di AB, CD, un numero maggiore di CF sarà divisore di AB, CD. Supponiamo che questo divisore esista e che sia G. Dal momento che G è divisore di CD, e che CD è divisore di BE, G  è divisore anche di BE. Ma è divisore anche dell'intero BA; dunque sarà divisore anche del rimanente AE. Ma AE è divisore di DF; dunque G sarà divisore anche di DF. Ma è anche divisore dell'intero DC; dunque sarà divisore anche del rimanente CF, cioè un numero maggiore sarà divisore di un numero minore: il che è impossibile.

Dunque nessun numero che sia maggiore di CF sarà divisore di AB, CD. Dunque CF è il massimo comun divisore di AB, CD.

[Come dovevasi dimostrare]

 

Corollario

Di conseguenza è evidente che se un numero è divisore di due numeri, sarà divisore anche del loro massimo comun divisore.

Come dovevasi dimostrare.


 

[1] δοθέντων: la struttura del genitivo assoluto, il cui soggetto è evidentemente Δύο ἀριθμῶν (trad.: "Dati due numeri…" ) è tra le più ricorrenti nello stile della dimostrazione euclidea: la sintesi del costrutto è la più adatta ad esprimere le premesse da cui muovere (quelle che noi chiamiamo ipotesi della dimostrazione).

[2] μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους: "numeri primi reciproci". La definizione è il primo esempio in questo testo di un procedimento usuale con cui si si costituisce il lessico scientifico all'interno di un sistema-lingua. Esso consiste nel conferire ad un termine dell'uso comune e in quanto tale polisemico (πρώτος, aggettivo col senso di "primo" nella successione spaziale o temporale o valoriale) un unico significato specifico, proprio della disciplina di cui entra a far parte in qualità di termine tecnico: in matematica "primo" significa sempre ed unicamente "divisibile solo per uno e per se stesso". Questo processo di risemantizzazione univoca è tra i principali fattori costitutivi del linguaggio scientifico in tutte le lingue (anche in italiano "primo" è termine del linguaggio comune e con accezione specifica termine tecnico della matematica).

[3] τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον: "la loro misura massima comune": sono le parole con cui Euclide definisce quello che per noi è il massimo comun divisore. Euclide rappresenta i numeri in termini geometrici come segmenti, e quindi "metro" (o "unità di misura") di un numero (o meglio, del segmento che lo rappresenta) è il segmento che riportato su di esso lo divide in n parti uguali. In altre parole, dalla rappresentazione geometrica dei numeri consegue che "Euclide non usa le espressioni "è un multiplo di" o "è un fattore di", ma si serve invece rispettivamente dell espressioni "è misurato da" e "misura" (C. Boyer, Storia della matematica, Milano 1990, p. 136); per questo cfr. n. 6, μετρεῖ.

[4] εὑρεῖν: "trovare". L'infinito aoristo con valore iussivo esprime in modo impersonale la richiesta. E' uno degli stilemi più ricorrenti della dimostrazione, volto a connotare la tendenza all'oggettività propria di ogni linguaggio scientifico.

[5] Ἔστωσαν … εὑρεῖν: il secondo periodo solo apparentemente ripete l'enunciato iniziale: in realtà introduce l'inizio della dimostrazione ponendo AB e ΓΔ come i due segmenti (cioè i due numeri: cfr. nota 3) su cui condurre le successive operazioni. Per questo al genitivo assoluto δοθέντων si sostituisce qui l'imperativo Ἔστωσαν (="siano"). L'espressione δεῖ… εὑρεῖν, rispetto all'infinito iussivo dell'enunciato di apertura, è una variante che ne conserva la connotazione di impersonalità: non è un caso che non sia mai possibile individuare un soggetto (sia in senso sintattico che in quello individuale) a cui sia riferibile l'azione del ricercare una soluzione. Oltre a ciò, il metodo euclideo si pone come dominato dalla necessità assoluta di costruire in modo rigoroso e consequenziale tutti i passaggi della dimostrazione, a costo di apparire pedante ad alcuni suoi detrattori anche recenti, come Paul Lockart (cfr. Contro l'ora di matematica, p….).

[6] Εἰ μὲν οὖν … ἐστίν: il primo caso preso in esame è il più semplice: se ΑΒ è divisibile per ΓΔ, cioè, nei termini euclidei, se ΓΔ è un divisore  o un fattore (=μετρεῖ: cfr. sopra la n. 3 a μέτρον) di ΑΒ, è anche divisore comune. Sembrerebbe scontato che sia anche il massimo (μέγιστον) divisore comune, ma questo, nella stringente logica dimostrativa propria del metodo euclideo, deve essere oggetto di una specifica considerazione, su cui cfr. la nota 7.

[7] καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον: anche ciò che è evidente (φανερόν) deve essere dimostrato (anche se non sempre: per un corollario, ciò non è richiesto, e l'evidenza è autosufficiente: cfr. sotto, n. 34). Si noti sia per φανερόν sia per μέγιστον l'ellissi di ἐστί, che rimarca la categoricità dell'affermazione; il καὶ in ὅτι καὶ μέγιστον significa "anche", ed esplicita la natura aggiuntiva di questo enunciato rispetto al precedente.

[8] οὐδεὶς … μετρήσει: "nessun numero può essere divisibile per un numero superiore a se stesso". L'uso del futuro (μετρήσει) nello stile della dimostrazione corrisponde all'affermazione di una possibilità ("dividerà" = "può dividere").

[9] Εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ὁ ΓΔ τὸν ΑΒ: il secondo caso preso in esame (quello in cui AB non sia divisibile per ΓΔ) è collegato al precedente dalla relazione oppositiva Εἰ μὲν οὖν / Εἰ δὲ οὐ ("Se dunque…" / "Se invece non…"). La coordinazione μέν… δέ secondo Del Corno è "la maggiore difficoltà di traduzione dal greco", per l'assenza in italiano e nelle lingue moderne di un esatto corrispondente delle sue sfumature di significato, ma nel linguaggio matematico è ridotta ad esprimere una relazione binaria (A vs non-A) priva di altre connotazioni.  

[10] τῶν ΑΒ, ΓΔ: il genitivo plurale dell'art. che sostantiva i due segmenti esprime la funzione di complemento partitivo rispetto al genitivo assoluto che segue (= "dei due numeri…", "fra i due numeri…")

[11] ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος: genitivo assoluto (= "sottratto ripetutamente il minore") il cui valore esplicito equivale a una protasi ("se si sottrae…"); ἀεὶ, il cui significato di base è "sempre", ha qui valore iterativo e/o distributivo ("ripetutamente", "volta per volta").

[12] λειφθήσεταί: "sarà lasciato", qu.: "rimarrà". E' l'indicativo futuro passivo di λείπω. Abbiamo già visto (cfr. nota 8 a μετρήσει), che il futuro è impiegato nel linguaggio della dimostrazione matematica per esprimere la possibilità: qui invece riscontriamo la seconda accezione con cui Euclide fa ricorso al futuro, quella che esprime l'affermazione di una necessità ("rimarrà" = "deve rimanere").

[13] τις ἀριθμός, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ: nella definizione di "un numero che misurerà quello che lo precede", è evidente la rappresentazione geometrica dei numeri non solo nell'uso di μετρέω, di cui si è già detto (cfr. n. 3 e 6), ma anche nella locuzione τὸν πρὸ ἑαυτοῦ (scil. ἀριθμόν): è solo nella rappresentazione grafica dei numeri come segmenti giacenti sulla medesima retta che, in una divisione, si può definire il dividendo come "il numero che precede" il divisore.

[14] μονὰς: "una unità": dalla radice di μόνος, un altro termine preso dalla lingua comune (in questo caso passato anche attraverso il vaglio del lessico filosofico) per esprimere un contenuto tecnico univoco.

[15] εἰ δὲ μή: "altrimenti", "in caso contrario", nega la precedente negazione (οὐ λειφθήσεται) e perciò ipotizza l'eventualità che "avanzi una unità", da cui conseguirebbe che i due numeri siano primi tra loro (ἔσονται οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους).

[16] οὐχ ὑπόκειται: "non è stato assunto per ipotesi". Il verbo ὑπόκειμαι vale lett. "sto, sono steso sotto": la metafora che determina la sua risemantizzazione nel linguaggio tecnico della matematica è quella del "fare da fondamento, stare alla base": questo significato, riferito al ragionamento dimostrativo, viene ad indicare quanto è stato ipotizzato in partenza.

[17] λειφθήσεταί …ἑαυτοῦ: è ripetuta identica l'asserzione già espressa sopra (cfr. n. 12 e 13), ora riconfermata come necessaria (di qui il ricorso ad ἄρα, "dunque") dall'esclusione per ipotesi dell'alternativa che dalla sottrazione possa avanzare un'unità.

[18] μετρῶν: il participio presente attivo, per le osservazioni esposte a proposito del significato di μέτρον (cfr. n. 3) e del verbo μετρέω (cfr. n. 6), significa "divisore" o "fattore". Nel seguito della dimostrazione questa voce verbale è costantemente adoperata con questo significato.

[19] λειπέτω: terza persona singolare dell' imperativo presente attivo (="lasci"). Come risulta evidente anche dal seguito, in cui è impiegato costantemente, è questo il modo con cui Euclide formula le supposizioni eventuali. In altre parole, l'imperativo, in modo analogo al futuro che esprime la potenzialità (cfr. n. 8 a μετρήσει) o la necessità (cfr. n. 12 a λειφθήσεται), ha nel linguaggio tecnico della dimostrazione geometrica la funzione di esprimere l'eventualità ("lasci" = "è probabile che lasci", "supponiamo che lasci").

[20] ὁ δὲ ΓΖ τὸν ΑΕ μετρείτω: per comprendere il passaggio è forse utile riportare la dimostrazione ad un esempio numerico. Poniamo che AB = 24 e CD = 9; riportando CD come unità di misura su AB (muovendo da B), si ottiene BE = 18, ed EA = 6 < CD.  E' ora la volta di riportare AE come unità di misura su CD (muovendo da D): si ottiene così DF = 6 e FC = 3 < AE. A questo punto, riportando CF su AE, segmento che lo precede in questa catena, risulta che è misura (cioè che è divisore) di AE (2CF = AE, cioè: 2 x 3 = 6).

[21] ἐπεὶ οὖν…: a partire da questo nesso causale comincia il percorso a ritroso (che si conclude con l'affermazione: ὁ ΓΖ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ μετρεῖ) per dimostare che l'ultimo segmento trovato, CF, è divisore di tutti i segmenti precedentemente individuati, fino ad arrivare ad AB e CD. Applicando ancora l'esempio dato a n. 20, nell'ordine, CF (3) è divisore di AE (6); AE è divisore di DF (6), e quindi lo sarà anche CF (3); ma essendo CF divisore anche di se stesso, sarà divisore anche di CD (9), che consta di CF + FD. CD (9) a sua volta  è divisore di BE (18), e quindi lo sarà anche CF (3); CF poi è anche  divisore di EA (6), e quindi è divisore dell'intero AB (24) che consta di AE + EB (6+18). Si giunge così a concludere che CF (3) è divisore comune di AB, CD (ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν).

[22] μετρήσει: il solito futuro ("misurerà", cioè: "sarà divisore di") con senso di necessità (="deve misurare", cioè: "deve essere divisore di"): cfr. n. 12.

[23] ὁ ΓΖ ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ κοινὸν μέτρον ἐστίν: anche in questo caso la differenza di questa formulazione ("CF dunque è divisore comune di AB, CD") rispetto all'enunciato precedente (ὁ ΓΖ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ μετρεῖ = "CF dunque divide AB, CD) sembra impercettibile, ma, mediante la sostituzione di  κοινὸν μέτρον  a μετρεῖ, assolve alla funzione di riportare la dimostrazione all'esatta formulazione della tesi (o, come vedremo subito alla n. 24, di parte della tesi, visto che manca la dimostrazione che è anche il massimo divisore comune).

[24] λέγω δή, ὅτι καὶ μέγιστον: l'affermazione (con le solite ellissi tipiche della dimostrazione geometrica: ad ὅτι καὶ μέγιστον è sottinteso κοινὸν μέτρον ἐστίν ὁ ΓΖ τῶν ΑΒ, ΓΔ) riprende la tesi nel sostenere che il divisore comune è anche il massimo divisore comune, ciò che a rigore non è stato dimostrato, e deve esserlo ora.

[25] εἰ γὰρ μή ἐστιν… μέγιστον κοινὸν μέτρον: la dimostrazione che il divisore individuato è il massimo muove dalla negazione della tesi, per verificarne le conseguenze fino a giungere ad un punto di palese contraddittorietà che rivela l'impossibilità della supposizione di partenza, e quindi la necessità di assumere come vero il suo contrario: è la tipica dimostrazione per assurdo, un altro dei cardini del metodo euclideo destinato ad avere grande fortuna nella storia della matematica.

[26] μείζων ὢν: "che sia maggiore": è la condizione chiave della dimostrazione per assurdo, consistente nell'assumere che esista un divisore di AB, CD maggiore di quello trovato fin qui.

[27] μετρείτω, καὶ ἔστω: ancora gli imperativi che esprimono la supposizione: "supponiamo che misuri (= "supponiamo che questo divisore esista") e che sia…"

[28] ἐπεὶ: a partire da questo nesso causale il ragionamento prosegue estendendo in successione ai segmenti precedentemente presi in considerazione la proprietà assunta come ipotesi che G sia divisore (maggiore di CF) di AB, CD. L'ultimo dei segmenti di questa catena è proprio CF, e si arriva così alla assurdità che un numero maggiore (ché tale si era assunto G per ipotesi) sia divisore di un numero minore (cfr. n. 29).

[29] μετρήσει  ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα: è questo il nodo di contraddizione e il punto di approdo della dimostrazione per assurdo: "il maggiore sarà (= deve essere) divisore del minore", il che è palesemente impossibile, come subito dopo affermato nel testo (ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον).

[30] Dalla dimostrazione che non esiste un numero maggiore di CF che sia divisore di AB, CD, si arriva con la consueta precisione  dell'enunciato a concludere che quello trovato è il massimo divisore comune.

[31] ὅπερ ἔδει δεῖξαι: "come dovevasi dimostrare", è la formula che conclude le dimostrazioni, qui espunta dall'editore (questo il senso della parentesi quadra)  in quanto ritenuta interpolata e anticipata rispetto alla conclusione della dimostrazione, che include anche il corollario (dopo il quale invece la formula conclusiva ha la sua ragion d'essere). E' interessante anche in questa locuzione la ripresa (cfr. n. 5 a δεῖ… εὑρεῖν ) della natura impersonale della reggente (ἔδει, "era necessario"), che mira a conferire il massimo dell'oggettività al discorso. L'infinito aoristo di δείκνυμι, δεῖξαι, rappresenta un ulteriore esempio di risemantizzazione di un termine del linguaggio comune (noto, in questo caso, anche per il suo impiego nell'oratoria  per designare la finalità del discorso epidittico) nel contesto del lessico specialistico disciplinare: anche in italiano, "dimostrare"  nel linguaggio matematico designa il processo logico deduttivo che è la struttura stessa del discorso di questa scienza.

[32] Πόρισμα: "corollario", termine tecnico, la cui natura si differenzia rispetto agli altri esempi individuati in quanto non di risemantizzazione del linguaggio comune si tratta, ma di un termine attestato solo nel suo significato specifico  in ambito matematico. Facilmente riconoscibile comunque è la sua formazione: la radice è quella del verbo πορίζω, "porto", unita al suffisso nominale astratto –μα, -ματος (riscontrabile ad es. in ἀδίκημα, ατος, νόμισμα, -ατος, ecc.), che viene a significare "ciò che (la dimostrazione) porta (con sé)", vale a dire le conseguenze immediate (quel che noi chiamiamo corollari) che ne derivano. La messa a punto di un lessico disciplinare passa anche attraverso il conio di nuovi termini.

[33] Ἐκ δὴ τούτου: "da ciò": anche i corollari sono strettamente legati alla catena logica di deduzioni che possono essere ricavate da quanto fin qui sviluppato nel corso della dimostrazione.

[34] φανερόν: con la solita ellissi di ἐστί, φανερόν indica ciò che è evidente di per sé (dalla radice di φαίνω, "appaio", "mostro" "sembro chiaro") e non richiede argomentazioni articolate per dimostrarne la veridicità: è sufficiente l'enunciazione.

[35] ἐὰν … μετρήσει: dipendente da ὅτι, è un periodo ipotetico del II tipo, la cui protasi è introdotta da ἐὰν con il congiuntivo μετρῇ, e l'apodosi ha il futuro μετρήσει. L'eventualità è la sottocategoria del periodo ipotetico cui questa formulazione appartiene, ed è espressa da ἐὰν μετρῇ: "nell'eventualità che misuri…", il cui presupposto di senso è: ogni volta che si verifica questa ipotesi, e per tutte le varianti con cui si verifica, consegue necessariamente ciò che è enunciato dall'apodosi: μετρήσει, "misurerà", il solito futuro con senso di necessità (= "deve misurare", cfr. n. 12).

Quanto al senso del corollario, esso significa, in altre parole, che il massimo comun divisore di due numeri è multiplo degli altri eventuali loro divisori, e che così debba essere è intuitivo, in quanto tale caratteristica è immediatamente (si potrebbe dire addirittura: visivamente) ricavabile dalla rappresentazione geometrica dei divisori come unità di misura dei due segmenti dati:  questa qualità può essere rappresentata graficamente solo a condizione che la misura massima contenga senza resti le altre misure.